陳遠偶爾會來圖書館，坐在貝葉斯旁邊，看他工作，偶爾提問，但很直接給出答案。今天也是如此。

“還在糾結概率的定義？”陳遠輕聲問，在貝葉斯對面坐下。他的臉比幾個月前更蒼白，但眼睛依然敏銳。

貝葉斯抬頭，了疲憊的眼睛：“是的，先生。我讀了伯努利先生的《猜度》，他理了獨立重複試驗中頻率趨於概率的問題，但沒有嚴格證明。我想用您的極限理論給出嚴格證明，但遇到了困難。”

“什麼困難？”

“伯努利大數定律說：在獨立重複試驗中，事件發生的頻率依概率收斂於該事件的概率。但‘依概率收斂’是什麼意思？和您講的一致收斂。逐點收斂有什麼不同？”

陳遠思考片刻。這是一個深刻的問題，及了概率論收斂模式的獨特。在原本的歷史中，這些問題要到20世紀才被徹底釐清。

“也許，”陳遠緩緩說，“你需要定義一種新的收斂模式。設X_n是隨機變數序列，X是隨機變數。我們說X_n依概率收斂於X，如果對任意ε＞0，當n→∞時，P(|X_n-X|＞ε)→0。”

貝葉斯眼睛一亮：“這和逐點收斂不同！逐點收斂要求對每個樣本點，X_n(ω)→X(ω)。但依概率收斂允許在某些樣本點上不收斂，只要這些點的概率趨於0。”

“正是如此。”陳遠點頭，“而且，你還可以考慮更強的收斂：幾乎收斂，即P({ω: X_n(ω)→X(ω)}) = 1。以及更弱的收斂：分佈收斂。這些不同的收斂模式，對應概率論中不同的極限定理。”

貝葉斯快速記錄，筆尖在紙上沙沙作響。“那麼伯努利大數定律，應該用哪種收斂？”

“用依概率收斂就可以證明。但證明需要工——你需要切比雪夫不等式，或者更基本的馬爾可夫不等式。這些不等式將概率與期聯繫起來，是分析概率論的關鍵工。”

陳遠簡要描述了這些不等式的思想。貝葉斯聽得神，不時提問。當陳遠講到中心極限定理的雛形——獨立同分佈隨機變數和的標準化依分佈收斂於正態分佈——時，貝葉斯激地站起來。

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